Đề thi chính thức vào 10 năm 2015 môn Toán - Sở GD&ĐT Hà Nội

Cho hai biểu thức  và với   

Tính giá trị của biểu thức P khi x = 9.

Đáp án: Khi x = 9 thì giá trị của P = .

Rút gọn biểu thức Q.

Tìm giá trị của x để đạt giá trị nhỏ nhất.

Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60 km, sau đó chạy xuôi dòng 48 km trên cùng một dòng sông có vận tốc của dòng nước là 2 km/giờ. Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng 1 giờ.

Đáp án: Vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng là km/giờ.

Giải hệ phương trình .

Cho phương trình (x là ẩn số).

Khẳng định nào sau đây đúng?

Tìm m để phương trình có hai nghiệm là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5.

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Lấy điểm C trên đoạn AO (C khác A, C khác O). Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại K. Gọi M là điểm bất kì trên cung KB (M khác K, khác B). Đường thẳng CK cắt các đường thẳng AM, BM lần lượt tại H và D. Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai N.

Điền vào ô trống để hoàn thành phép chứng minh tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp.

1. Ta có   vì góc nhìn nửa đường tròn đường kính 8.1.

do DK vuông góc với 8.2

2. Suy ra nên tứ giác ACMD nội tiếp đường tròn đường kính AD. (đpcm)

Điền vào ô trống để hoàn thành phép chứng minh CA.CB = CH.CD.

1. Ta có vì cùng phụ góc MABCBMMCBAMI} .

2. Xét hai tam giác và   ta có :

 Suy ra (g-g)

Điền vào ô trống để chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng.

1. Ta có

Suy ra H là trực tâm AD vuông góc với 10.1 (1)

2. (góc nhìn nửa đường tròn đường kính 10.2).

Suy ra (2)

 Từ (1) và (2) suy ra  A, N, D thẳng hàng.

Điền vào ô trống để hoàn thành phép chứng minh tiếp tuyến tại N của đường tròn đi qua trung điểm của DH.

Gọi E là giao điểm của CK và tiếp tuyến tại N.

1. Ta có  và

2. Mà  

cân tại 11.1, suy ra ED = 11.2. (3)

3. Ta có

=> cân tại 11.3, suy ra EH = 11.4.  (4)

4. Từ (3) và (4) suy ra E là trung điểm của HD (điều phải chứng minh).

Điền vào ô trống để hoàn thành phép chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên cung KB.

Kéo dài MN cắt AB tại điểm I, ta cần chứng minh điểm I cố định.
1. Ta xét vuông tại M có E là trung điểm cạnh huyền DH, suy ra  12.1

2. Xét hai tam giác và là hai tam giác bằng nhau theo trường hợp C-C-C.

Suy ra   
3. Suy ra tứ giác EMON nội tiếp đường tròn đường kính 12.2 ⇒
4. Ta có: 

Suy ra là số không đổi mà O và đường thẳng AB cố định, suy ra I cố định (điều phải chứng minh).

Với hai số thực không âm a, b thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức